Векторное сложение. Проекции векторов

Вектор – это величина, у которой есть не только числовое значение (модуль), но и направление. Скорость, сила, ускорение, перемещение – всё это векторные величины. В отличие от них, масса, время, температура – величины скалярные, у них направления нет. Ведь мы не можем сказать, что время куда-то направлена или температура. А про силу мы можем сказать например так: я толкаю шкаф влево, что можно понимать как: приложение сил к шкафу, которые направлены влево.

Сложение векторов

Если на тело действуют (или с ним связаны) два вектора, их можно сложить – получить один результирующий вектор. Предположим, что два человека толкают шкаф, один будет толкать вправо, а другой влево, при это сила, которую они прикладывают будет одинакова. В этом случае мы можем утверждать, что шкаф не сдвинется с места, так как сумма всех сил, которые на него действуют равна 0. Теперь поговорим подробнее о том, как правильно складывать вектора.

Правило треугольника. Второй вектор откладывают от конца первого; результирующий вектор идёт от начала первого к концу второго:

$$\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$$

Если векторы направлены вдоль одной прямой в одну сторону – их модули складываются; если в противоположные – вычитаются (из большего модуля вычитают меньший, направление – по большему вектору). Именно так мы находили скорость сближения и скорость удаления в относительной скорости – вычитая один вектор скорости из другого.

Если векторы направлены под углом $90^\circ$ друг к другу, результирующий вектор – это гипотенуза прямоугольного треугольника, и его модуль находится по теореме Пифагора:

Правило параллелограмма. Оба вектора откладывают из одной точки, достраивают до параллелограмма – результирующий вектор является его диагональю, выходящей из той же точки. Результат получается тот же, что и по правилу треугольника – это просто другой способ построения. Но его применяют крайне редко, так как правила треугольника обычно достаточно.

Проекция вектора на ось

Чтобы работать с вектором в формулах (например, в уравнении движения $x(t) = x_0 + v \cdot t$), его раскладывают на проекции – числа, которые показывают, какую часть вектор «даёт» вдоль каждой оси координат.

• Если вектор направлен вдоль положительного направления оси – его проекция положительна.
• Если против – отрицательна.
• Если вектор перпендикулярен оси – его проекция на эту ось равна нулю.

Проекция – это число (со знаком), а не вектор. Именно проекции складываются и вычитаются в формулах вроде $x(t)_1 = x(t)_2$.